Même s'il est possible d'obtenir un laser avec des cavités instables dans certains cas bien particuliers (voir plus loin), il est en général préférable d'avoir une cavité stable. L'étude théorique de la stabilité est indispensable pour dimensionner la cavité (choix des rayons de courbure, des distances) avant de commencer à la construire.
L'étude de la stabilité de la cavité sera faite en utilisant la notion de matrice de transfert (ou matrices ABCD).
Le principe de cette méthode est d'associer à chaque élément optique au sens large (simple propagation dans un milieu donné, lentille, miroir...) une matrice 2x2 spécifique. On pourra ainsi déterminer les caractéristiques liées à la propagation par simple multiplication des matrices élémentaires.
Considérons une propagation dans le plan
Figure 5 : Définition des paramètres
Dans les conditions de Gauss, les relations entre
La matrice
Nous allons maintenant déterminer les matrices ABCD pour quelques composants essentiels d'une cavité, et montrer comment obtenir la matrice ABCD du système complet à partir de ces composants élémentaires.
Or en développant l'expression matricielle ci-dessus:
On en déduit par identification termes à termes :
Nous ne démontrerons pas les autres relations (le raisonnement est exactement le même) : cela pourra être fait sous forme d'exercice.
On retrouve bien sûr l'équivalence miroir-lentille avec
De manière générale, pour
Attention, en général les matrices ne commutent pas et l'ordre doit être strictement conservé.
La matrice
On verra par la suite que cette méthode matricielle s'applique non seulement en optique géométrique mais également pour les faisceaux gaussiens
Il arrive souvent que des systèmes astigmates soient introduits dans les cavités lasers
(miroirs sphériques hors d'axe, lames à incidence de Brewster, lentilles cylindriques, prismes...). Dans ce
cas,
il existe un comportement différent suivant les deux directions orthogonales. Il faut alors distinguer les
matrices ABCD dans la direction
Elle permet de décrire la propagation d'une onde sphérique dans un système optique.
Considérons une onde sphérique issue d'un point
On a dans ces conditions
Figure 6 : Paramètres pour la démonstration de la loi ABCD
On peut donc déduire à partir de la définition de la matrice ABCD :
C'est la loi ABCD
Cette loi est très importante, notamment parce qu'on la généralisera au cas des rayons de courbure complexes (voir plus loin le chapitre sur les faisceaux gaussiens).