Le profil d'intensité d'une gaussienne est : \[I(r, z) = I_0(z) e^\frac{-2r^2}{w^2(z)}\] et \(r\) va de 0 à l'infini.

Par une ouverture de rayon \(r\), il passe donc une fraction \(F\) de l'énergie définie par: \[F=\frac{\int_0^\rho I(r) dS}{\int_0^\infty I(r) dS}\] avec \(dS=2\pi r dr\)

En remplaçant \(I(r)\) par sa valeur à un point \(z\) donné (correspondant à une valeur \(w\) de \(w(z)\), il vient après simplification: \[F=\frac{\int_0^\rho re^\frac{-2r^2}{w^2} dr}{\int_0^\infty re^\frac{-2r^2}{w^2} dr}\]

Un simple changement de variable (en posant \(t=r^2\)) permet de calculer cette intégrale: \[\int_0^\rho re^\frac{-2r^2}{w^2} dr = \frac 12 \int_0^{\rho ^2} e^\frac{-2t}{w^2} dt = \frac 12 \left[\frac {-w^2}2e^\frac{-2t}{w^2}\right]_0^{\rho ^2}\]

Finalement on trouve : \[F = 1-e^{-2\left(\frac rw\right)^2}\] soit pour les applications numériques, on a respectivement les résultats suivants:

• pour \(\frac rw\) = 0.5 on a \(F\) = 0.39
• pour \(\frac rw\) = 0.75 on a \(F\) = 0.67
• pour \(\frac rw\) = 1 on a \(F\) = 0.86
• pour \(\frac rw\) = 2 on a \(F\) = 0.999

Complément: