Optique des LASER et faisceaux gaussiens

III. Les faisceaux gaussiens

1. Équation d'onde paraxiale et onde sphérique

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Une onde électromagnétique se propageant dans un milieu homogène est soumise aux équations de Maxwell. On déduit classiquement de ces équations que l'onde se propageant en milieu isotrope doit vérifier l'équation de propagation suivante $$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$$

Si on considère la propagation d'un rayonnement électromagnétique monochromatique de fréquence $\nu =\frac{\omega }{2\pi }$, on peut réécrire ces équations sous une forme différente et montrer que l'onde doit vérifier l'équation de Helmholtz:$$\mathrm{\Delta }E(x,y,z)+k^{2}E(x,y,z)=0$$ où $k=\frac{\omega }{c}$ est le vecteur d'onde.

Cette équation admet en particulier pour solution bien connue l'onde sphérique divergente dont la forme peut s'écrire : $$E(x,y,z)=\frac{E_0}{r}{e}^{-ikr}$$ au point d'observation situé à une distance $r$ du point source placé à l'origine du repère $(x,y,z)$.

Dans le cadre de l'approximation paraxiale, on considère que le champ s'est propagé suivant une direction privilégiée, celle de l'axe $z$, et l'observation s'effectue donc sur un point peu éloigné de cet axe. Dans ce cas on peut effectuer un développement limité sur la distance entre le point source et le point d'observation : $$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\approx z+\frac{x^2+y^2}{2z}$$

Le champ électrique au point d'observation devient alors : $$E_{paraxial}(x,y,z)=\frac{E_0}{z}{e}^{-ikz}{e}^{-ik\frac{x^2+y^2}{2z}}$$

Il s'agit du champ d'une "onde sphérique paraxiale", qui n'est qu'une solution approchée de l'équation de Helmholtz où l'on reconnaît le facteur de propagation en $e^{-ikz}$ et le facteur de variation transverse d'amplitude : $$\frac{1}{z}{e}^{-ik\frac{x^2+y^2}{2z}}$$

D'un point de vue strictement mathématique, l'onde sphérique est solution de l'équation de propagation et du point de vue physique, l'onde sphérique paraxiale est une solution approchée convenable pour décrire la propagation des ondes dans un espace libre. Néanmoins, dans le cas qui nous occupe, à savoir les lasers, cette onde est une solution peu avantageuse car l'énergie se répandant dans tout l'espace, on doit diaphragmer le faisceau pour en isoler une portion proche de l'axe. On a donc des pertes importantes ce qui est incompatible avec l'émission laser.

En effet, la structure du champ électromagnétique à l'intérieur d'une cavité laser doit vérifier les conditions suivantes :

• Satisfaire aux équations de Maxwell
• Le champ doit décroître lorsque l'on s'éloigne de l'axe de la cavité en raison de la taille finie des miroirs et du milieu à gain.
• Le front d'onde doit être adapté au rayon de courbure des miroirs (ce qui exclu les ondes planes)

Nous allons maintenant décrire les solutions adaptées aux résonateurs lasers.